Дано:
Основания прямоугольной трапеции a = 2 м и b = 8 м.
Диагонали трапеции перпендикулярны.
Найти:
Высоту трапеции h.
Решение:
1. Обозначим высоту трапеции как h. Поскольку диагонали перпендикулярны, можно использовать свойства прямоугольной трапеции.
2. В прямоугольной трапеции, где диагонали перпендикулярны, выполняется следующее соотношение:
h^2 = (b - a)^2 / 4 + (S / (b + a))^2,
где S — площадь трапеции.
3. Площадь трапеции S можно вычислить по формуле:
S = (a + b) * h / 2.
4. Подставим значения a и b:
S = (2 + 8) * h / 2 = 5h.
5. Теперь подставим S в уравнение для h:
h^2 = (8 - 2)^2 / 4 + (5h / (8 + 2))^2.
6. Упростим:
h^2 = 6^2 / 4 + (5h / 10)^2,
h^2 = 36 / 4 + (h / 2)^2.
7. Вычислим:
h^2 = 9 + h^2 / 4.
8. Переносим h^2 / 4 в левую часть:
h^2 - h^2 / 4 = 9.
9. Общий множитель:
(4h^2 - h^2) / 4 = 9,
3h^2 / 4 = 9.
10. Умножаем обе стороны на 4:
3h^2 = 36.
11. Делим на 3:
h^2 = 12.
12. Извлекаем корень:
h = √12 = 2√3.
Ответ:
Высота трапеции h = 2√3 м.