Question

Внутри треугольника ABC взяли произвольную точку О. Прямые АО, ВО и СО пересекают стороны ВС, АС и АВ в точках N, К и М соответственно. Докажите, что верно соотношение AM/ВМ • BN/CN • СК/АК = 1.

Answer 1

Дано:

Треугольник ABC, внутри которого находится произвольная точка O. Прямые AO, BO и CO пересекают стороны BC, AC и AB в точках N, K и M соответственно.

Найти:

Докажите, что выполняется соотношение AM/MB • BN/CN • CK/AK = 1.

Решение:

1. Обозначим:
   - AM = a,
   - MB = b,
   - BN = c,
   - CN = d,
   - CK = e,
   - AK = f.

2. Выразим длины отрезков:
   - Сторона AB делится на отрезки AM и MB:
     AB = AM + MB = a + b.

   - Сторона AC делится на отрезки AK и CK:
     AC = AK + CK = f + e.

   - Сторона BC делится на отрезки BN и CN:
     BC = BN + CN = c + d.

3. Используем свойства подобия треугольников, образованных точкой O и сторонами треугольника ABC.

4. Рассмотрим треугольники:
   - Треугольник AMO и треугольник BMO.
   - Треугольник BNO и треугольник CNO.
   - Треугольник CKO и треугольник AKO.

5. Из подобия треугольников можно записать следующие пропорции:
   - AM / MB = AO / BO,
   - BN / CN = BO / CO,
   - CK / AK = CO / AO.

6. Умножим все три пропорции:
   (AM / MB) • (BN / CN) • (CK / AK) = (AO / BO) • (BO / CO) • (CO / AO).

7. Обратите внимание, что AO, BO и CO сокращаются:
   (AM / MB) • (BN / CN) • (CK / AK) = 1.

Ответ:
AM/MB • BN/CN • CK/AK = 1.