Дано:
Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5. Обозначим вершины треугольника как A, B, C, где AC = 3, AB = 4, BC = 5. Пусть M — середина гипотенузы BC, а I — центр вписанной окружности.
Найти:
Расстояние от центра вписанной окружности I до медианы AM, проведённой к гипотенузе BC.
Решение:
1. Найдем координаты точек A, B и C:
- A(0, 0),
- B(3, 0),
- C(3, 4).
2. Найдем координаты точки M (середина гипотенузы BC):
M = ((3 + 3) / 2, (0 + 4) / 2) = (3, 2).
3. Найдем координаты центра вписанной окружности I. Радиусы вписанной окружности можно найти по формуле:
r = S / p,
где S — площадь треугольника, а p — полупериметр.
4. Площадь S:
S = (1/2) * 3 * 4 = 6.
5. Полупериметр p:
p = (3 + 4 + 5) / 2 = 6.
6. Радиус вписанной окружности:
r = 6 / 6 = 1.
7. Координаты центра вписанной окружности I находятся по формуле:
I_x = (a * A_x + b * B_x + c * C_x) / (a + b + c),
I_y = (a * A_y + b * B_y + c * C_y) / (a + b + c),
где a, b, c — длины сторон, противолежащих вершинам A, B и C соответственно.
8. Подставляем значения:
I_x = (4 * 0 + 5 * 3 + 3 * 3) / 12 = (0 + 15 + 9) / 12 = 24 / 12 = 2.
I_y = (4 * 0 + 5 * 0 + 3 * 4) / 12 = (0 + 0 + 12) / 12 = 12 / 12 = 1.
9. Таким образом, координаты центра вписанной окружности I равны (2, 1).
10. Теперь найдем уравнение медианы AM. Медиана проходит через точки A(0, 0) и M(3, 2). У slope (угловой коэффициент) медианы равен:
k = (2 - 0) / (3 - 0) = 2/3.
11. Уравнение медианы имеет вид:
y = (2/3)x.
12. Теперь найдем расстояние от точки I(2, 1) до прямой y = (2/3)x. Уравнение прямой в общем виде:
2x - 3y = 0.
13. Расстояние от точки (x0, y0) до прямой Ax + By + C = 0 вычисляется по формуле:
d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2).
14. Подставим значения:
A = 2, B = -3, C = 0, (x0, y0) = (2, 1):
d = |2 * 2 - 3 * 1 + 0| / sqrt(2^2 + (-3)^2) = |4 - 3| / sqrt(4 + 9) = 1 / sqrt(13).
Ответ:
Расстояние от центра вписанной окружности до медианы, проведенной к гипотенузе, равно 1 / sqrt(13).