дано:
- точка O — центр окружности, вписанной в четырехугольник ABCD.
- перпендикуляры, восстановленные в вершинах A, B, C и D к отрезкам AO, BO, CO и DO, образуют новый четырехугольник A'B'C'D'.
найти:
доказать, что точка O лежит на пересечении диагоналей нового четырехугольника A'B'C'D'.
решение:
1. Центр окружности O является равноведущей точкой для отрезков, соединяющих O с вершинами A, B, C и D.
2. Перпендикуляры, проведенные из A, B, C и D к соответствующим отрезкам AO, BO, CO и DO, создают углы 90° с этими отрезками.
3. Углы A'OB', B'OC', C'OD' и D'OA', образованные этими перпендикулярами, будут равны 90°.
4. Поскольку O является центром окружности, вписанной в ABCD, он равноведущ и симметричен относительно всех сторон.
5. Таким образом, точки A', B', C' и D' образуют новый четырехугольник, в котором O будет равноудален от противоположных сторон.
6. Это означает, что O лежит на пересечении диагоналей A'C' и B'D', так как они будут пересекаться в точке, которая равноведуща для всех сторон.
ответ:
точка O лежит на пересечении диагоналей нового четырехугольника A'B'C'D'.