Question

Две окружности пересекаются в точках А и В. В точке А к ним провели касательные, которые пересекают эти окружности в точках М и К. Прямые ВМ и КМ вторично пересекают данные окружности в точках Е и F. Докажите, что FM =ЕК.

Answer 1

дано:
- две окружности, пересекающиеся в точках A и B.
- касательные, проведенные в точке A, пересекают окружности в точках M и K.
- прямые BM и KM вторично пересекают окружности в точках E и F.

найти:
доказать, что отрезок FM равен отрезку EK.

решение:
1. Обозначим окружности как O1 и O2. Касательные в точке A перпендикулярны радиусам, проведенным в эту точку.

2. Поскольку AM и AK являются касательными, углы AMB и AKB равны 90°.

3. Применим теорему о секущих: если две секущие пересекают окружности, то произведение отрезков, созданных на одной секущей, равно произведению отрезков, созданных на другой секущей.

4. Для секущей BM, имеем:
BM * BE = BA * BA (по свойству секущих).

5. Для секущей KM, имеем:
KM * KF = KA * KA (по свойству секущих).

6. Сравнивая произведения, получаем:
BM * BE = FM * FK.

7. Так как AM и AK касательные, отрезки AM и AK равны, и следовательно, отрезки EK и FM будут равны.

8. Таким образом, FM = EK.

ответ:
FM = EK.