Дано: трапеция ABCD с параллельными сторонами AB и CD. Пусть M и N — середины диагоналей AC и BD соответственно.
Найти: доказать, что отрезок MN лежит на средней линии трапеции.
Решение:
1. Обозначим длины параллельных сторон трапеции как AB = a и CD = b. Средняя линия трапеции будет равна (a + b)/2 и параллельна AB и CD.
2. Рассмотрим треугольники AMC и BND. Поскольку M и N — середины диагоналей, отрезок MN соединяет середины отрезков, соединяющих вершины трапеции.
3. По теореме о средней линии треугольника, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен её половине. Это означает, что MN будет параллелен AB и CD.
4. Отрезок MN также равен средней линии трапеции, которая равна (a + b)/2.
5. Поскольку MN параллелен AB и CD и равен средней линии, он обязательно лежит на средней линии трапеции.
Ответ: отрезок MN, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на её средней линии.