Дано:
Пусть OA = 1, угол AOB = 30°.
Найти:
Минимальный периметр треугольника ABC.
Решение:
1. Обозначим точки: O — вершина угла, A — точка на расстоянии 1 от O, B и C — точки на сторонах OA и OB соответственно.
2. Поскольку отражаем точку A относительно стороны OA, обозначим отраженную точку как A'. Поскольку угол AOB равен 30°, угол AOA' также равен 30°.
3. Длина OA' равна 1, и координаты точки A могут быть выражены как:
A(1, 0).
4. Отраженная точка A' будет находиться на прямой, образованной углом 30°:
A'(1, 0) -> A'(1, tan(30°)) = (1, sqrt(3)/3).
5. Теперь найдем длину отрезка OC. Для этого нужно найти координаты точки C, которая находится на стороне OB. Так как угол AOB = 30°, то:
OC = OA' * cos(30°) = 1 * (sqrt(3)/2) = sqrt(3)/2.
6. Длина OB равна OA' * sin(30°):
OB = 1 * (1/2) = 1/2.
7. Теперь найдем периметр треугольника ABC:
P = AB + AC + BC.
8. Поскольку мы знаем, что A находится на расстоянии 1 от O, длины AB и AC будут равны:
AB = OC = sqrt(3)/2,
AC = OB = 1/2.
9. Чтобы найти BC, воспользуемся формулой для расстояния между двумя точками:
BC = sqrt((x_B - x_C)² + (y_B - y_C)²).
10. Подставим значения:
x_B = 1, y_B = 0;
x_C = 0, y_C = sqrt(3)/2.
11. Длина BC = sqrt((1 - 0)² + (0 - sqrt(3)/2)²) = sqrt(1 + (3/4)) = sqrt(7/4) = sqrt(7)/2.
12. Периметр треугольника ABC:
P = AB + AC + BC = (sqrt(3)/2) + (1/2) + (sqrt(7)/2).
13. Упрощаем:
P = (sqrt(3) + 1 + sqrt(7)) / 2.
Ответ:
Минимальный периметр треугольника ABC равен (sqrt(3) + 1 + sqrt(7)) / 2.