Question

Биссектриса АЕ равнобедренного треугольника ABC пересекает биссектрису его угла В в точке О. На боковой стороне АВ взяли точку М так, что AM = АС. Прямая МО пересекает основание АС в точке К. Докажите, что АК = ЕС.

Answer 1

Дано:

Пусть треугольник ABC равнобедренный, где AB = AC. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке O. На боковой стороне AB выбрана точка M так, что AM = AC. Прямая MO пересекает основание AC в точке K.

Найти:

Показать, что AK = EC.

Решение:

1. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то угол A равен углу C, и соответственно, биссектрисы углов A и B делят углы на равные части.

2. Из равенства AM = AC следует, что треугольник AMC равнобедренный, и угол AMC равен углу ACB.

3. Точка O является точкой пересечения биссектрис, что означает, что угол AOB равен углу BOC.

4. Рассмотрим треугольник AOC. Поскольку AO и CO — биссектрисы, угол AOC равен углу ACB.

5. Из равенства треугольников AOK и COK (так как AO = CO и угол AOK = угол COK) следует, что AK = KC.

6. Поскольку K лежит на AC, имеем AK + KC = AC. Поскольку в треугольнике AMC AM = AC, то также AK + KC = AM.

7. Следовательно, AK = EC, так как треугольник AEC также равнобедренный.

Ответ:
AK = EC, так как треугольники AOK и COK равны, что подтверждает равенство отрезков.