Дано: прямая AB, точки A и B.
Найти: точку M на прямой AB, такую что ∠AMB = 90°.
Решение:
1. Проведем через точки A и B прямую AB.
2. Найдем середину отрезка AB и обозначим ее точкой O.
O = (A + B) / 2
3. Найдем вектор AB и нормальный к нему вектор n.
AB = B - A
n = (-ABy, ABx)
4. Найдем вектор OM, который равен сумме векторов OA и AM.
OM = OA + AM
5. Условие ∠AMB = 90° означает, что векторы AM и n перпендикулярны.
AM * n = 0
где * обозначает скалярное произведение векторов.
6. Решим систему уравнений:
OMx = Ox + AMx
OMy = Oy + AMy
AM * n = 0
где Ox, Oy, AMx, AMy - известные координаты.
AMx * (-ABy) + AMy * ABx = 0
AMx * (-By + Ay) + AMy * (Bx - Ax) = 0
AMx = (Ax + Bx - 2Ox + 2ABx * (ABx * (Ax - Bx) + ABy * (Ay - By))) / 2(ABx^2 + ABy^2)
AMy = (Ay + By - 2Oy + 2ABx * (ABx * (Ay - By) + ABy * (Ax - Bx))) / 2(ABx^2 + ABy^2)
Ответ: координаты точки M равны (AMx, AMy).