Дано: треугольник ABC, центр описанной окружности которого лежит внутри треугольника.
Найти: доказать, что треугольник ABC остроугольный.
Решение:
1. Пусть O - центр описанной окружности треугольника ABC, и он находится внутри треугольника. По определению, O является точкой пересечения биссектрис треугольника.
2. Если O находится внутри треугольника, то все углы треугольника ABC меньше 180 градусов, поскольку любая точка внутри треугольника имеет такие углы.
3. Если хотя бы один угол треугольника равен или больше 90 градусов, то его противоположная сторона будет находиться на внешней стороне описанной окружности, что противоречит предположению, что O находится внутри треугольника. Таким образом, ни один угол треугольника не может быть прямым или тупым.
4. Поскольку ни один угол не может быть прямым или тупым, все углы треугольника ABC острые.
Ответ: треугольник ABC остроугольный.