Дано: точка О — середина отрезка МК. Даны условия: AM < BM и AK < BK. Нужно доказать, что AO < BO.
Решение:
1. Обозначим точки: A, B, K, M, и О. Точка О — середина отрезка МК, т.е. МО = OK.
2. Введем систему координат, где точки A, B, K, M находятся в плоскости. Положим, что A и B фиксированы, а точки K и M перемещаются так, что выполняются условия AM < BM и AK < BK.
3. Используем неравенство треугольника и свойства отрезков.
4. Рассмотрим треугольники AMO и BMO. Поскольку O — середина отрезка MK, то MO = OK.
5. В треугольнике AMO и BMO используем неравенство треугольника:
- В треугольнике AMO: AM + MO > AO
- В треугольнике BMO: BM + MO > BO
Поскольку MO = OK, то:
- AM + MO > AO
- BM + MO > BO
6. Поскольку AM < BM, это означает, что:
- AO = AM + MO - MO < BM + MO - MO = BO.
Таким образом, AO < BO.
Ответ: AO < BO.