дано: выпуклый пятиугольник ABCDE с диагоналями AC, AD, BD, BE и CE.
найти: показать, что сумма длин всех диагоналей больше периметра пятиугольника.
решение: Обозначим длины сторон пятиугольника как AB = a, BC = b, CD = c, DE = d и EA = e. Периметр пятиугольника P равен a + b + c + d + e.
Рассмотрим все диагонали пятиугольника:
- Диагональ AC
- Диагональ AD
- Диагональ BD
- Диагональ BE
- Диагональ CE
Показать, что сумма диагоналей больше периметра. По неравенству треугольника для треугольников, образованных диагоналями и сторонами пятиугольника, мы имеем:
1. Для треугольника ABC: AC + AB > BC
2. Для треугольника ABD: AD + AB > BD
3. Для треугольника BCD: BD + BC > CD
4. Для треугольника BCE: BE + BC > CE
5. Для треугольника CDE: CE + CD > DE
Сложим все пять неравенств:
(AC + AB > BC) + (AD + AB > BD) + (BD + BC > CD) + (BE + BC > CE) + (CE + CD > DE)
Упростим:
AC + AD + BE + CE > BD + DE + CD
Так как периметр P = AB + BC + CD + DE + EA, добавим недостающие отрезки:
AC + AD + BE + CE > (AB + BC + CD + DE + EA) - EA
Итак, сумма всех диагоналей больше периметра пятиугольника.
ответ: сумма длин всех диагоналей выпуклого пятиугольника больше его периметра.