Давайте докажем, что получившийся четырёхугольник является параллелограммом.
а) Пусть на каждой стороне параллелограмма построен правильный треугольник вне параллелограмма. Пусть A, B, C, D - вершины параллелограмма, E, F, G, H - вершины построенных треугольников. Поскольку треугольники правильные, то их центры будут находиться на серединах сторон параллелограмма. Таким образом, EH будет равенственной AD, FG будет равенственной BC, аналогично для других сторон. Таким образом, получившийся четырёхугольник является параллелограммом.
б) Пусть на каждой стороне параллелограмма построен правильный треугольник в той же полуплоскости, где лежит этот параллелограмм. Тогда центры треугольников будут лежать на серединах сторон параллелограмма. Таким образом, получившийся четырёхугольник является параллелограммом.
Таким образом, в обоих случаях четырёхугольник с вершинами в центрах всех построенных треугольников является параллелограммом.