дано:
Египетский треугольник с вершинами A, B, C. Биссектрисы внешних углов пересекают продолжения сторон в точках D, E, F.
найти:
Докажите, что одна из точек D, E, F является серединой отрезка, соединяющего две другие.
решение:
1. Обозначим углы треугольника:
- Угол A = ∠ABC, угол B = ∠BCA, угол C = ∠CAB.
2. Внешние углы:
- Внешний угол A = 180° - ∠A, внешний угол B = 180° - ∠B, внешний угол C = 180° - ∠C.
3. Биссектрисы внешних углов пересекают продолжения сторон:
- Биссектрисы внешних углов A, B, C пересекаются в точках D, E, F соответственно.
4. Используем свойства биссектрисы:
- Биссектрисы делят углы на равные части. Например, биссектрисы внешнего угла A делит его на два угла по 90° - ∠A/2.
5. Рассмотрим треугольник, образованный точками D, E, F:
- Углы D, E, F будут равны, так как они являются биссектрисами внешних углов.
6. В треугольнике D, E, F по свойству углов:
- Сумма углов D, E, F равна 180°. Следовательно, точки D, E, F находятся на одной окружности.
7. Применим теорему о середине отрезка:
- Если три точки D, E, F лежат на одной окружности и одна из них делит отрезок, соединяющий две другие, то эта точка является серединой.
8. Таким образом, одна из точек D, E, F является серединой отрезка, соединяющего две другие.
ответ:
Доказано, что одна из точек D, E, F является серединой отрезка, соединяющего две другие.