дано:
Точка A(0; 3) и начало координат O(0; 0).
найти:
Множество всех точек, расстояние от каждой из которых до начала координат в 2 раза больше расстояния до точки A.
решение:
1. Обозначим произвольную точку M(x; y).
2. Расстояние от точки M до начала координат O:
d_O = √(x² + y²).
3. Расстояние от точки M до точки A:
d_A = √(x² + (y - 3)²).
4. Установим равенство в соответствии с условием:
√(x² + y²) = 2 * √(x² + (y - 3)²).
5. Возведем обе стороны в квадрат:
x² + y² = 4 * (x² + (y - 3)²).
6. Раскроем квадрат:
x² + y² = 4 * (x² + y² - 6y + 9).
7. Упрощаем уравнение:
x² + y² = 4x² + 4y² - 24y + 36.
8. Переносим все в одну сторону:
0 = 3x² + 3y² - 24y + 36.
9. Делим все на 3:
0 = x² + y² - 8y + 12.
10. Приведем уравнение к каноническому виду:
0 = x² + (y² - 8y + 16) - 4.
11. Упрощаем:
0 = x² + (y - 4)² - 4.
12. Получаем:
(y - 4)² + x² = 4.
ответ:
Множество всех точек задаёт окружность с центром в (0; 4) и радиусом 2.