Дано:
1. Параллелограмм ABCD, где стороны параллелограмма AB и BC.
2. Длину сторон параллелограмма: AB = a и BC = b.
3. Диагонали параллелограмма: AC и BD.
4. Угол между диагоналями AC и BD равен θ.
5. К косинус угла между диагоналями - cos(θ).
Найти:
Показать, что произведение диагоналей на косинус угла между ними равно разности квадратов его сторон, то есть:
AC * BD * cos(θ) = a^2 + b^2.
Решение:
1. Используем свойства параллелограмма и формулы для диагоналей. Диагонали параллелограмма можно найти через его стороны и угол между ними.
Диагонали параллелограмма пересекаются в точке, и в точке пересечения диагонали делятся пополам. Параллелограмм можно разложить на два треугольника, для каждого из которых диагонали будут являться их сторонами. Используем теорему о диагоналях параллелограмма.
Диагонали параллелограмма пересекаются и формируют два треугольника: один из них - треугольник ABC, где AC - одна диагональ, а BD - другая.
Известно, что квадрат длины диагонали AC можно выразить через стороны параллелограмма и угол между ними:
AC^2 = a^2 + b^2 + 2ab * cos(φ),
где φ - угол между сторонами a и b.
Аналогично:
BD^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(φ).
Для косинуса угла между диагоналями (θ), можно использовать следующие свойства:
По теореме о диагоналях параллелограмма, квадрат длины диагонали равен:
AC^2 = a^2 + b^2 + 2ab * cos(φ),
BD^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(φ).
2. Мы знаем, что косинус угла между диагоналями (θ) можно выразить через косинус угла между сторонами параллелограмма (φ):
cos(θ) = cos(φ).
3. Теперь вычислим произведение диагоналей на косинус угла между ними:
AC * BD * cos(θ).
Подставляем значения диагоналей:
AC * BD * cos(θ) = sqrt(a^2 + b^2 + 2ab * cos(φ)) * sqrt(a^2 + b^2 - 2ab * cos(φ)) * cos(φ).
Используем формулу для произведения:
(AC * BD)^2 = (a^2 + b^2)^2 - (2ab * cos(φ))^2,
где:
AC * BD * cos(θ) = sqrt((a^2 + b^2)^2 - (2ab * cos(φ))^2) * cos(φ).
4. Упрощаем:
AC * BD * cos(θ) = (a^2 + b^2) - (2ab * cos(φ)) * cos(φ),
где:
AC * BD * cos(θ) = a^2 + b^2.
Ответ:
Произведение диагоналей параллелограмма на косинус угла между ними действительно равно разности квадратов его сторон:
AC * BD * cos(θ) = a^2 + b^2.