Дано:
- Пятиугольник ABCDE с вершинами A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), D(x4, y4), E(x5, y5).
Найти:
- Точку плоскости, к которой будут «стягиваться» получающиеся пятиугольники при последовательном соединении середины всех его сторон.
Решение:
1. При соединении середины всех сторон пятиугольника ABCDE мы получаем новый пятиугольник, вершины которого обозначим как A', B', C', D', E'. Координаты новых вершин можно найти следующим образом:
A' = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)
B' = ((x2 + x3) / 2, (y2 + y3) / 2)
C' = ((x3 + x4) / 2, (y3 + y4) / 2)
D' = ((x4 + x5) / 2, (y4 + y5) / 2)
E' = ((x5 + x1) / 2, (y5 + y1) / 2)
2. В результате этого процесса координаты новых вершин сокращаются в два раза по сравнению с предыдущими, что можно записать в виде:
x' = (x1 + x2) / 2
y' = (y1 + y2) / 2
3. Если мы повторим этот процесс, образуя новый пятиугольник из пятиугольника A'B'C'D'E', то новые координаты будут еще больше приближаться к центру масс исходного пятиугольника.
4. Центр масс первоначального пятиугольника можно вычислить по формуле:
Mx = (x1 + x2 + x3 + x4 + x5) / 5
My = (y1 + y2 + y3 + y4 + y5) / 5
5. После каждой итерации координаты нового пятиугольника будут стремиться к координатам центра масс M. Таким образом, независимо от формы и расположения первоначального пятиугольника, после бесконечной последовательности операций, полученные пятиугольники будут стягиваться к точке центра масс.
Ответ:
Получающиеся пятиугольники будут «стягиваться» к центру масс первоначального пятиугольника ABCDE, который находится в точке M(Mx, My).