Дано: Треугольник ABC, точки P, Q и R такие, что P лежит на продолжении стороны BC, Q — на продолжении стороны CA, а R — на продолжении стороны AB. Линии AP, BQ и CR пересекаются в одной точке.
Найти: Доказать, что AP / PB × BQ / QC × CR / RA = 1.
Решение:
1. Построение:
Построим треугольник ABC. Обозначим точки, в которых AP, BQ и CR пересекаются, как точку O. Точки P, Q и R лежат на продолжениях сторон треугольника, что означает, что линии AP, BQ и CR являются сечениями треугольника.
2. Использование принципа подобия треугольников:
- Рассмотрим треугольники APB и ABC. Они подобны по углам, так как угол PAB равен углу BAC (по свойству углов при параллельных прямых).
- То же самое можно сказать о треугольниках BQC и BCA, и треугольниках CRA и CAB.
3. Отношения длин отрезков:
Из подобия треугольников следуют следующие пропорции:
- AP / PB = AB / BC (по подобию треугольников APB и ABC)
- BQ / QC = BC / CA (по подобию треугольников BQC и BCA)
- CR / RA = CA / AB (по подобию треугольников CRA и CAB)
4. Перемножение отношений:
Перемножаем все три отношения:
(AP / PB) × (BQ / QC) × (CR / RA) = (AB / BC) × (BC / CA) × (CA / AB)
Сокращая одинаковые члены в числителе и знаменателе, получаем:
(AP / PB) × (BQ / QC) × (CR / RA) = 1
Ответ: AP / PB × BQ / QC × CR / RA = 1.