Дано:
Треугольник ABC с биссектрисами AD, BE и CF, где D, E и F — основания биссектрис. Рассматриваем внешнюю биссектрису угла при вершине C и её основание G.
Найти:
Доказать, что основания биссектрис AD и BE лежат на одной прямой с основанием биссектрисы внешнего угла при вершине C.
Решение:
1. Обозначим основания биссектрис:
- D — основание биссектрисы угла A
- E — основание биссектрисы угла B
- G — основание внешней биссектрисы угла C
2. Внешняя биссектрису угла C делит внешний угол при C пополам. Обозначим эту биссектрису как CH, где H — основание этой биссектрисы.
3. Рассмотрим треугольник ABC и его внутренние биссектрисы AD и BE.
4. Применим теорему о том, что внешняя биссектрисса треугольника делит противоположные стороны в том же отношении, что и внутренние биссектрисы, поэтому основания внутренних биссектрис (D и E) и основание внешней биссектрисы (G) лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Симпсона.
5. Доказательство основывается на следующем:
- Внутренние биссектрисы AD и BE пересекаются в точке I, и отрезок DE параллелен отрезку FG (где G — основание внешней биссектрисы).
- Таким образом, DE и FG лежат на одной прямой.
Ответ:
Основания двух биссектрис треугольника лежат на одной прямой с основанием биссектрисы внешнего угла этого треугольника при его третьей вершине.