Дано: две окружности с центрами O1 и O2 и радиусами R1 и R2 соответственно. Пусть окружности касаются в точке A.
Найти: доказать, что точка A является одним из центров гомотетий, переводящих одну окружность в другую.
Решение:
1. Поскольку окружности касаются в точке A, это означает, что расстояние между их центрами O1 и O2 может быть представлено как d = O1O2 = R1 + R2, если окружности внешне касаются, или d = |R1 - R2|, если окружности внутренне касаются.
2. Определим коэффициент гомотетии k. Для случая внешнего касания он равен:
k = R2 / R1.
3. В случае внутреннего касания коэффициент гомотетии будет:
k = R1 / R2.
4. Теперь рассмотрим точки на окружностях. Пусть P — произвольная точка на окружности с центром O1. Для получения соответствующей точки P' на окружности с центром O2 мы используем формулу гомотетии:
P' = O2 + k * (P - O1).
5. Так как точка A — это точка касания, то для точки P, находящейся в A, получаем:
P' = A, когда P находится на окружности вокруг O1. Это означает, что точка A остается фиксированной при гомотетии.
6. Таким образом, мы можем заключить, что точка A действительно служит центром гомотетии, который переводит одну окружность в другую.
Ответ: Точка касания окружностей является центром гомотетий, переводящих одну окружность в другую.