Дано: трапеция ABCD с основаниями AB = a и CD = b. Проведён отрезок EF, параллельный основаниям трапеции, который разбивает трапецию на две части, в которых закрашенные треугольники равновелики.
Найти: длину отрезка EF, обозначим его как x.
Решение:
1. Обозначим высоту трапеции как h. Треугольники ABE и CDF, образованные отрезком EF, равновелики, так как они имеют равные площади.
2. Поскольку треугольники равновелики, можно написать соотношение их оснований так:
S(AEF) = S(CDF).
3. Используя формулу для площади треугольника, площадь треугольника ABE может быть выражена как:
S(AEF) = (1/2) * a * h1,
где h1 — высота треугольника AEF от точки E до линии AB.
4. Аналогично, площадь треугольника CDF будет:
S(CDF) = (1/2) * b * h2,
где h2 — высота треугольника CDF от точки F до линии CD.
5. Так как высоты h1 и h2 зависят от общей высоты h трапеции и отношения, в котором отрезок EF делит эту высоту, можно записать:
h1 + h2 = h.
6. Обозначим отношение высот как k = h1/h. Тогда h1 = k * h и h2 = (1-k) * h.
7. Теперь можем выразить площади через k:
S(AEF) = (1/2) * a * (k * h),
S(CDF) = (1/2) * b * ((1-k) * h).
8. Условие равенства площадей даёт:
(1/2) * a * (k * h) = (1/2) * b * ((1-k) * h).
9. Упрощая уравнение, получаем:
a * k = b * (1 - k).
10. Раскрываем скобки и приводим к общему виду:
a*k + b*k = b,
k(a + b) = b,
k = b / (a + b).
11. Длина отрезка EF (x) определяется по аналогии с длинами оснований трапеции и пропорциями:
x = a * k + b * (1 - k).
12. Подставляя значение k, получаем:
x = a * (b / (a + b)) + b * (1 - (b / (a + b))).
13. После упрощения:
x = (ab) / (a + b) + b * (a / (a + b)),
x = (ab + ba) / (a + b),
x = (2ab) / (a + b).
Ответ: x = (2ab) / (a + b), длина проведённого отрезка.