Дано: Прямоугольный треугольник с высотой, которая разбивает его на два меньших треугольника. Радиусы вписанных окружностей этих треугольников равны 3 и 4.
Найти: Радиус окружности, вписанной в исходный прямоугольный треугольник.
Решение:
1. Обозначим высоту прямоугольного треугольника как h. Пусть радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен R. Радиус вписанной окружности треугольника можно найти по формуле:
R = (a + b - c) / 2
где a и b — катеты, а c — гипотенуза.
2. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два меньших прямоугольных треугольника. Радиусы их вписанных окружностей можно выразить через катеты и гипотенузы каждого из этих треугольников. Радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольник можно выразить через радиусы окружностей меньших треугольников.
3. Пусть r1 и r2 — радиусы окружностей меньших треугольников, где r1 = 3 и r2 = 4. Высота h делит гипотенузу исходного треугольника на отрезки, равные гипотенузам меньших треугольников.
4. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен средней арифметической радиусов окружностей меньших треугольников:
R = (r1 + r2) / 2
5. Подставляем значения:
R = (3 + 4) / 2 = 7 / 2 = 3.5
Ответ: Радиус окружности, вписанной в исходный прямоугольный треугольник, равен 3.5.