Для доказательства этого утверждения рассмотрим два подобных треугольника ABC и A'B'C', у которых углы BAC и B'A'C' равны. Пусть BD и B'D' - биссектрисы углов ABC и A'B'C', соответственно.
Так как треугольники ABC и A'B'C' подобны, то соответствующие стороны пропорциональны. Пусть соотношение между сторонами AB и A'B' равно k. Тогда сторона BC соответствует стороне B'C' умноженной на k, а сторона AC соответствует стороне A'C' умноженной на k.
Пусть M - точка пересечения биссектрис углов ABC и A'B'C'. Тогда BM делит угол ABC на два равных угла и угол A'B'C' на два равных угла. По определению биссектрисы угла BM делит сторону AC на две отрезка в пропорции, равной отношению ближайших к углу сторон. Таким образом, AM/AB = CM/BC и A'M/A'B' = C'M/B'C'. Из этих равенств следует, что AM/AB = A'M/A'B', то есть отрезки AM и A'M имеют одинаковое отношение к соответствующим сторонам треугольников ABC и A'B'C'.
Аналогично, BD делит угол ABC на два равных угла и угол A'B'C' на два равных угла. По определению биссектрисы угла BD делит сторону AC на две отрезка в пропорции, равной отношению ближайших к углу сторон. Таким образом, AM/AB = DM/BC и A'M/A'B' = D'M/B'C'. Из этих равенств следует, что AM/AB = A'M/A'B', то есть отрезки AM и A'M имеют одинаковое отношение к соответствующим сторонам треугольников ABC и A'B'C'.
Таким образом, мы доказали, что в подобных треугольниках биссектрисы равных углов соответствуют друг другу.