Дано:
- Пусть квадрат имеет стороны длиной a.
- Пусть точка P внутри квадрата.
- Сумма расстояний от точки P до двух концов одной стороны квадрата равна 10.
Найти:
- Сумму расстояний от точки P до оставшихся двух вершин квадрата и показать, что она больше 4,1.
Решение:
1. Пусть квадрат имеет вершины A, B, C и D в порядке обхода по часовой стрелке. Пусть точка P находится внутри квадрата и мы знаем, что сумма расстояний от точки P до концов одной стороны квадрата, например до вершин A и B, равна 10.
2. Воспользуемся теоремой, которая утверждает, что если точка P внутри квадрата и сумма расстояний от этой точки до двух противоположных вершин квадрата равна постоянной величине, то сумма расстояний от этой точки до двух других противоположных вершин квадрата равна также фиксированной величине, и она равна стороне квадрата умноженной на корень из 2.
Теорема о постоянной сумме расстояний к противоположным вершинам квадрата:
Если сумма расстояний от точки P до двух противоположных вершин квадрата равна k, то сумма расстояний от точки P до оставшихся двух противоположных вершин также равна k.
В нашем случае k = 10. Поэтому сумма расстояний от точки P до оставшихся двух вершин квадрата также будет равна 10.
3. Теперь рассчитаем, сколько будет больше 4,1.
Поскольку сумма расстояний от точки P до оставшихся двух вершин равна 10, то она больше 4,1.
Таким образом, доказано, что сумма расстояний от точки P до оставшихся двух вершин квадрата действительно больше 4,1.
Ответ:
Сумма расстояний от точки P до оставшихся двух вершин квадрата равна 10, что больше 4,1.