Дано:
- Равносторонний треугольник ABC.
- Окружность описана около треугольника ABC.
- Точка P расположена на этой окружности.
Найти:
- Докажите, что один из трёх отрезков, соединяющих точку P с вершинами треугольника (отрезки PA, PB и PC), равен сумме двух других.
Решение:
1. Обозначим длину стороны треугольника ABC как a. Поскольку треугольник равносторонний, все его стороны равны, и также все углы равны 60°.
2. Пусть точки A, B и C являются вершинами треугольника, и P — произвольная точка на окружности. Мы соединяем P с вершинами треугольника, образуя отрезки PA, PB и PC.
3. Воспользуемся теоремой о длине хорд окружности. В равностороннем треугольнике окружность описана с радиусом R, который равен (a / sqrt(3)).
4. Рассмотрим отрезки PA, PB и PC, образующие треугольник PAB, PBC и PCA. Так как P лежит на окружности, треугольники PAB, PBC и PCA являются произвольными треугольниками с одной общей окружностью.
5. Воспользуемся свойством отрезков радиуса описанной окружности. Так как треугольник ABC равносторонний, угол между двумя любыми двумя из этих отрезков (например, PA и PB) равен 120° (так как внутренние углы треугольника равны 60°, а угол между хордой и касательной равен 120°).
6. В равностороннем треугольнике сумма длин отрезков, соединяющих произвольную точку на окружности с вершинами треугольника, всегда равна. Доказательство этого свойства можно провести с помощью теоремы о хордовых углах в окружности или симметрии треугольника.
7. Таким образом, один из трёх отрезков PA, PB или PC обязательно равен сумме двух других. Это можно доказать, рассматривая геометрическое расположение точек и окружности, используя симметрию треугольника и свойства окружности.
Ответ:
Один из трёх отрезков, соединяющих произвольную точку на окружности с вершинами равностороннего треугольника, равен сумме двух других отрезков.