Дано:
Стороны треугольника: a = 6 см, b = 7 см.
Высота, опущенная на третью сторону c: h = 5 см.
Найти:
Радиус описанной окружности R.
Решение:
1. Сначала найдем площадь треугольника S. Площадь треугольника можно найти по формуле:
S = (1/2) * c * h,
где c - основание (третья сторона), а h - высота.
2. Для нахождения стороны c используем теорему Пифагора в контексте высоты и сторон:
S = (a * h_a) / 2 = (b * h_b) / 2,
где h_a и h_b - высоты, соответствующие сторонам a и b.
3. Сначала найдем c. Площадь также может быть вычислена через стороны a и b:
S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),
где p - полупериметр треугольника.
4. Полупериметр p выражается как:
p = (a + b + c) / 2.
5. Найдем сторону c через площадь:
Поскольку h = 5,
S = (1/2) * c * 5 = (5c) / 2.
6. Теперь мы можем выразить S через a и b с учетом высоты. Также, зная что S = (1/2) * a * h_а и S = (1/2) * b * h_б:
S = (1/2) * 6 * h_а = (1/2) * 7 * h_б.
7. Объединим все вместе для поиска c. Запишем уравнение:
S = (1/2) * c * h = (5c) / 2.
8. Затем подставим значение S:
S = (1/2) * 6 * 5 = 15 см².
Приравняем к другой формуле:
15 = (5 * c) / 2.
9. Умножим обе стороны на 2:
30 = 5c.
10. Разделим на 5:
c = 30 / 5 = 6 см.
11. Теперь мы знаем все стороны треугольника: a = 6 см, b = 7 см, c = 6 см.
12. Найдем радиус описанной окружности R, используя формулу:
R = (abc) / (4S).
13. Подставляем значения:
R = (6 * 7 * 6) / (4 * 15).
14. Упрощаем:
R = 252 / 60 = 4.2 см.
Ответ:
Радиус описанной окружности R составляет примерно 4.2 см.