Дано:
1. Длина основания равнобедренного треугольника равна 10.
2. Тангенс угла при основании равен 3.
Найти:
Сторону квадрата, две вершины которого лежат на основании треугольника, а две другие — на его боковых сторонах.
Решение:
1. Обозначим стороны равнобедренного треугольника как AB и AC, где основание BC равно 10.
2. Обозначим высоту треугольника из вершины A на основание BC как h, тогда по определению тангенса имеем:
tan(угол) = h / (половина основания).
3. Половина основания равна 10/2 = 5. Подставим значения в формулу для тангенса:
3 = h / 5.
4. Найдем h:
h = 3 * 5 = 15.
5. Теперь мы можем найти координаты точек. Пусть B находится в точке (-5, 0), C в точке (5, 0), а точка A будет находиться на высоте h от середины основания, т.е. в точке (0, 15).
6. Стороны квадрата обозначим как a. Квадрат будет касаться боковых сторон треугольника, поэтому его верхние вершины будут находиться на прямых AB и AC.
7. Уравнение линии AB можно найти с использованием её углового коэффициента:
k = h / (половина основания) = 15 / 5 = 3.
Уравнение линии AB:
y = 3(x + 5).
8. Уравнение линии AC аналогично:
y = -3(x - 5).
9. Рассмотрим вершину квадрата, которая находится на уровне y = a. Подставим это значение для уравнений линий AB и AC.
Для линии AB:
a = 3(x + 5),
x = (a/3) - 5.
Для линии AC:
a = -3(x - 5),
x = 5 - (a/3).
10. Уравнения x из обоих случаев должны быть равны:
(a / 3) - 5 = 5 - (a / 3).
11. Перепишем уравнение:
(a / 3) + (a / 3) = 10,
(2a / 3) = 10,
2a = 30,
a = 15.
Ответ:
Сторона квадрата равна 15 метров.