Дано:
- Треугольник ABC равносторонний.
- Окружность описана вокруг треугольника ABC.
- Точка M делит дугу BC в отношении 1 : 2.
Найти:
Углы треугольника AMB (угол A и углы MAB, MBA).
Решение:
1. Поскольку ABC равносторонний, все его углы равны 60°. То есть угол A = угол B = угол C = 60°.
2. Дуга BC делится точкой M в отношении 1 : 2, что означает, что длина дуги BM составляет 1 часть, а длина дуги MC — 2 части. Сумма частей будет равна 3. Таким образом, доля дуги BM будет составлять 1/3, а доля дуги MC будет составлять 2/3 от всей дуги BC.
3. Угол AOM, где O — центр окружности, можно найти следующим образом. Угол AOB равен 60°, поскольку это центральный угол, соответствующий дуге AB.
4. Угол AOM равен:
угол AOM = угол AOB * (доля дуги BM) = 60° * (1/3) = 20°.
5. Аналогично, угол BOC равен 60°, и угол BOC, соответствующий дуге MC, равен:
угол BOC * (доля дуги MC) = 60° * (2/3) = 40°.
6. Теперь можем найти угол AMB:
угол AMB = 180° - угол AOM - угол BOC = 180° - 20° - 40° = 120°.
7. Углы при вершинах MAB и MBA равны:
угол MAB = угол AMB / 2 = 120° / 2 = 60°,
угол MBA = угол AMB / 2 = 120° / 2 = 60°.
Ответ:
Углы треугольника AMB: угол AMB = 120°, угол MAB = 60°, угол MBA = 60°.