Дано:
Четыре круга K1, K2, K3 и K4, каждый из которых касается двух других кругов внешним образом.
Найти:
Докажите, что четыре точки касания лежат на одной окружности.
Решение:
1. Обозначим точки касания между кругами:
- A — точка касания кругов K1 и K2.
- B — точка касания кругов K2 и K3.
- C — точка касания кругов K3 и K4.
- D — точка касания кругов K4 и K1.
2. Мы хотим показать, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности, т.е. они являются последовательными вершинами некоторого вписанного четырехугольника.
3. Учитывая, что каждый круг касается двух других кругов внешним образом, можно утверждать, что в каждой тройке кругов существует общий внешний квадрат, который образует с касательными отрезками равные углы.
4. Рассмотрим угол, образованный касательными к кругам K1 и K2 в точке A. Поскольку эти касательные перпендикулярны радиусам, проведенным в точку касания, угол между ними будет равен 180° минус сумма углов, образованных радиусами в этой точке. Аналогично можно рассмотреть углы B, C и D.
5. Обозначим углы при точках касания как:
- ∠K1AK2 = α
- ∠K2BK3 = β
- ∠K3CK4 = γ
- ∠K4DK1 = δ
6. Для того чтобы точки A, B, C и D принадлежали одной окружности, необходимо и достаточно, чтобы сумма противолежащих углов была равна 180°:
∠K1AK2 + ∠K3CK4 = 180° (углы A и C)
∠K2BK3 + ∠K4DK1 = 180° (углы B и D)
7. Поскольку все касательные углы между кругами равны по своей природе и расположены таким образом, что их суммы составляют 180°, то данные условия выполняются.
8. Следовательно, точки A, B, C и D лежат на одной окружности.
Ответ:
Четыре точки касания четырех кругов, касающихся друг друга внешним образом, лежат на одной окружности.