Дано:
- Квадрат ABCD со стороной a.
- Вершины M и K равностороннего треугольника AMK находятся на сторонах BC и CD соответственно.
Найти:
Докажите, что отрезок MK параллелен диагонали BD.
Решение:
1. Обозначим координаты вершин квадрата:
A(0, 0), B(a, 0), C(a, a), D(0, a).
2. Пусть точка M находится на стороне BC, тогда ее координаты можно записать как M(a, y_M), где y_M варьируется от 0 до a.
3. Точка K находится на стороне CD, и ее координаты можно записать как K(x_K, a), где x_K варьируется от 0 до a.
4. Так как треугольник AMK равносторонний, то его стороны равны:
AM = AK = MK.
5. Рассмотрим длину AM:
AM = √((a - 0)² + (y_M - 0)²) = √(a² + y_M²).
6. Длина AK будет равна:
AK = √((x_K - 0)² + (a - 0)²) = √(x_K² + a²).
7. Длина MK равна:
MK = √((x_K - a)² + (a - y_M)²).
8. Поскольку треугольник AMK равносторонний, у нас есть равенство:
√(a² + y_M²) = √(x_K² + a²) = √((x_K - a)² + (a - y_M)²).
9. Это равенство подразумевает, что углы AMK равны 60 градусов. Поскольку угол AMB и угол AKD также составляют 90 градусов, угол AMK является внешним для треугольника ABM и АКD.
10. Следовательно, углы AMK и ABD равны, значит MK параллельно BD.
Ответ:
MK параллельно BD, так как треугольник AMK равносторонний, а углы AMK и ABD равны.