Дано:
Параллелограмм ABCD.
Найти:
а) Доказать, что биссектрисы соседних углов перпендикулярны.
б) Доказать, что биссектрисы противоположных углов параллельны (или лежат на одной прямой).
Решение:
а) Рассмотрим угол A и угол B в параллелограмме. Обозначим их как A и B соответственно.
Согласно свойствам параллелограмма:
A + B = 180°.
Обозначим bis(A) и bis(B) как биссектрисы углов A и B. Биссектрисы угла делят угол пополам:
bis(A) = A/2,
bis(B) = B/2.
Так как A + B = 180°, то:
A/2 + B/2 = (A + B)/2 = 90°.
Следовательно, биссектрисы углов A и B образуют угол 90°. Это означает, что биссектрисы соседних углов перпендикулярны.
Ответ:
Биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны.
б) Рассмотрим углы C и D в параллелограмме. Также известно, что углы C и D равны соответственно углам A и B:
C = A,
D = B.
Так как A + B = 180°, то C + D также будет равно 180°:
C + D = 180°.
Теперь рассмотрим биссектрисы углов C и D, обозначим их как bis(C) и bis(D). По аналогии с предыдущим пунктом:
bis(C) = C/2,
bis(D) = D/2.
Так как C = A и D = B, то мы можем сказать:
bis(C) = A/2,
bis(D) = B/2.
Сумма биссектрис будет равна:
bis(C) + bis(D) = A/2 + B/2 = (A + B)/2 = 90°.
Таким образом, биссектрисы углов C и D также находятся на одной линии и являются параллельными к биссектрисам углов A и B (поскольку они равны).
Ответ:
Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны (или лежат на одной прямой).