Дано:
Пусть прямоугольник имеет длину a и ширину b. Площадь P = a * b, периметр H = 2(a + b).
Найти:
Докажите, что прямая, делящая пополам площадь, делит пополам и периметр.
Решение:
1. Рассмотрим случай, когда прямая, перпендикулярная одной из сторон прямоугольника, делит его на две равные части по площади. Предположим, что эта прямая перпендикулярна стороне a и проходит на расстоянии x от одного из концов стороны a, где 0 < x < a. Тогда площадь левой части будет равна:
P_left = x * b.
Согласно условию, эта площадь составляет половину общей площади:
x * b = (a * b) / 2.
Сократим b (при b ≠ 0):
x = a / 2.
Это означает, что прямая проходит в середине стороны a.
2. Теперь найдем, как это влияет на периметр. Периметр до деления равен H = 2(a + b). При делении прямой перпендикулярно стороне a, мы фактически не меняем длины сторон a и b, но получаем два отдельных прямоугольника, которые имеют общую сторону b.
Каждая из новых частей имеет периметр:
H_left = 2(x + b) = 2(a/2 + b) = a + 2b.
Так как прямая делит пополам только одну сторону, то общая длина периметра остается прежней. Мы можем рассмотреть следующий факт:
Общая длина остаётся H = 2(a + b), а если сложить периметры двух новых фигур, то:
H_total = H_left + H_right = (a + 2b) + (a + 2b) = 2a + 4b.
Таким образом, действительно прямая делит пополам и периметр.
Верно ли обратное?
Наоборот, предположим, что прямая делит пополам периметр, то есть:
H_left + H_right = H.
Это не обязательно означает, что площадь также будет разделена пополам. Например, можно взять прямоугольник с большой длиной и малой шириной. Прямая может делить периметр пополам при изменении пропорций сторон, но площадь всё равно может быть не равномерно распределена.
Ответ: Да, прямая, делящая пополам площадь прямоугольника, делит пополам и его периметр. Обратное утверждение неверно.