Дано: угол ABC, где A - вершина угла, а B и C - точки на его сторонах. Пусть D - точка внутри угла ABC.
Найти: доказать, что точка D принадлежит биссектрисе угла ABC тогда и только тогда, когда она равноудалена от сторон угла AB и AC.
Решение:
1. Обозначим расстояние от точки D до стороны AB как d1 и расстояние до стороны AC как d2.
2. Если точка D принадлежит биссектрисе угла ABC, то она делит угол пополам, то есть угол ABD равен углу ACD.
3. Поскольку углы ABD и ACD равны, это означает, что отрезки, проведенные из точки D к сторонам угла AB и AC, перпендикулярны к этим сторонам.
4. Из равенства углов мы можем вывести следующее соотношение: отношение длины отрезков AD и CD будет равным отношению длин сторон AB и AC.
5. Но поскольку D находится на биссектрисе, то расстояния d1 и d2 от точки D до сторон угла будут равны (d1 = d2).
6. Теперь рассмотрим обратное утверждение. Пусть D равноудалена от сторон угла, то есть d1 = d2.
7. Это означает, что расстояния от D до AB и AC равны, и, следовательно, угол ABD равен углу ACD, так как перпендикуляры, проведенные из D, равны.
8. Таким образом, D будет находиться на биссектрисе угла ABC.
Ответ: точка D внутри угла принадлежит биссектрисе угла ABC тогда и только тогда, когда она равноудалена от сторон угла AB и AC.