Дано:
ν = 4 Гц (частота колебаний хвоста)
α = 2 % от массы собаки (масса хвоста относительно массы собаки)
µ = 0.1 (коэффициент трения)
Найти:
Минимальную амплитуду колебаний хвоста A, при которой собака не сможет бежать ровно.
Решение:
1. Определим массу собаки m и массу хвоста m_tail:
m_tail = α * m = 0.02 * m.
2. Угловая частота ω связана с частотой ν следующим образом:
ω = 2πν.
Подставим значение ν:
ω = 2π * 4 ≈ 25.13 рад/с.
3. При колебаниях хвоста собаки в сторону может возникнуть сила, приводящая к боковому смещению. Эта сила будет пропорциональна амплитуде A колебаний хвоста и массе хвоста:
F_tail = m_tail * A * ω².
4. Для того чтобы собака могла бежать ровно, необходимо, чтобы сила трения была больше или равна силе, возникающей из колебаний хвоста:
F_friction = µ * m * g,
где g - ускорение свободного падения (g ≈ 9.81 м/с²).
5. Сравниваем силы:
m_tail * A * ω² ≤ µ * m * g.
6. Подставим массу хвоста и получим:
(0.02 * m) * A * (25.13)² ≤ 0.1 * m * 9.81.
7. Упростим уравнение, сократив на m:
0.02 * A * (25.13)² ≤ 0.1 * 9.81.
8. Теперь подставим численные значения:
0.02 * A * 632.40 ≤ 0.98.
9. Упростим и найдем A:
A ≤ 0.98 / (0.02 * 632.40) ≈ 0.77 м.
Ответ:
A ≤ 0.77 м.