Дано (в СИ):
Количество ноябрьских ночей (n) = 30
Количество ясных ночей (k) = 10
Количество ночей для наблюдений (m) = 5
Найти:
Вероятность того, что мировое открытие будет совершено, если требуется по крайней мере 2 ясные ночи.
Решение с подробными расчетами:
Для решения данной задачи воспользуемся формулой гипергеометрического распределения:
P(X=k) = C_K^k * C_{N-K}^{m-k} / C_N^m
где:
N - общее количество элементов в популяции (количество ноябрьских ночей),
K - количество "успешных" элементов в популяции (количество ясных ночей),
n - количество выбираемых элементов без повторений (количество ночей для наблюдений),
k - количество "успешных" элементов в выборке (количество ясных ночей для наблюдений).
В данной задаче нам нужно найти вероятность того, что будет выбрано по крайней мере 2 ясные ночи, то есть P(X ≥ 2). Мы можем вычислить эту вероятность как сумму P(X=2), P(X=3), ..., P(X=m).
Сначала рассчитаем значения C(m,k) и C(N-K,m-k):
C(5,2) = 5! / (2!(5-2)!) = 10
C(25,3) = 25! / (3!(25-3)!) = 2300
Затем рассчитаем значение C(N,m):
C(30,5) = 30! / (5!(30-5)!) = 142506
Теперь можем рассчитать вероятности:
P(X=2) = (C(10,2) * C(20,3)) / C(30,5) = (45 * 2300) / 142506 ≈ 0.7271
P(X=3) = (C(10,3) * C(20,2)) / C(30,5) = (120 * 190) / 142506 ≈ 0.4057
...
P(X=5) = (C(10,5) * C(20,0)) / C(30,5) = (252 * 1) / 142506 ≈ 0.0018
Наконец, суммируем эти вероятности:
P(X ≥ 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) ≈ 0.7271 + 0.4057 + ... + 0.0018 ≈ 0.9775
Таким образом, вероятность того, что мировое открытие будет совершено при условии, что требуется по крайней мере 2 ясные ночи, составляет около 0.9775.
Ответ:
Вероятность того, что мировое открытие будет совершено, если требуется по крайней мере 2 ясные ночи, составляет примерно 0.9775.