Дано: объем пузырька воздуха на дне озера V1, объем пузырька воздуха на поверхности озера V2 = 3V1.
Найти: глубина озера h.
Решение: По закону Архимеда объем выталкиваемой воды равен объему погруженного тела. Обозначим плотность воды через ρ, гравитационную постоянную через g, и выталкиваемый объем воды на глубине h через V_w.
Пусть V_w - объем воды, вытолкнутой пузырьком при его подъеме на глубине h.
Тогда действует равенство: V_w = V2 - V1 = 2V1.
Объем воды, вытесненной пузырьком на глубине h, равен объему воздуха в нем на этой глубине.
V_w = V1.
Так как плотность воздуха намного меньше плотности воды, то общий объем пузырька на глубине h равен сумме объема воздуха и объема вытесненной воды:
V1 + V1ρ/ρ + V1gh.
С учетом условия задачи, что на поверхности объем пузырька увеличивается в 3 раза, а плотность воздуха намного меньше плотности воды, получаем:
V1 + 3V1 = V1 + V1ρ + V1gh,
4V1 = V1 + V1ρ + V1gh,
3V1 = V1ρ + V1gh.
Подставим V1 = V1/ρ(ρ + gh) и учтем что V1 = V_w:
2V_w = V_w/ρ(ρ + gh),
2 = 1/ρ(1 + gh),
2ρ = 1 + gh,
h = (2ρ - 1)/ρg = (2*1000 кг/м³ - 1кг/м³)/(1000 кг/м³ * 9,8 м/с²) = 20 м.
Ответ: глубина озера составляет 20 м.