Question

Два невесомых цилиндра радиусами r=27,0 см и R=43,0 см жестко соединены и насажены на общую ось. На большой цилиндр намотана нить с грузом m1=2,60 кг, а на меньший цилиндр - нить с грузом m2=1,30 кг. Чему равно ускорение каждого груза и натяжение каждой нити, если грузы висят с разных сторон оси цилиндров?

Answer 1

Дано:  
- Радиус меньшего цилиндра r = 0.27 м  
- Радиус большего цилиндра R = 0.43 м  
- Масса груза на большем цилиндре m1 = 2.60 кг  
- Масса груза на меньшем цилиндре m2 = 1.30 кг  
- Ускорение свободного падения g = 10 м/с^2

Найти:  
- Ускорение каждого груза a1 и a2  
- Натяжение каждой нити T1 и T2

Решение:  
1. Найдем момент инерции системы цилиндров относительно их оси, используя формулу для момента инерции цилиндра:  
I = (1/2) * m * r^2  
I1 = (1/2) * 2.60 * 0.43^2 = 0.256 кг * м^2  
I2 = (1/2) * 1.30 * 0.27^2 = 0.0932 кг * м^2  
I_системы = I1 + I2 = 0.3492 кг * м^2  

2. Найдем угловое ускорение системы, используя второй закон Ньютона для вращательного движения:  
m1 * g * R - T1 * R = I_системы * alpha  
m2 * g * r - T2 * r = I_системы * alpha  

3. Разрешим систему уравнений относительно a1, a2, T1, T2:  
alpha = a1 / R = a2 / r  
m1 * g - T1 = I_системы / R * a1  
m2 * g - T2 = I_системы / r * a2  

4. Подставим известные значения и решим систему уравнений:  
0.3492 * a1 = 2.60 * 10 * 0.43 - T1 * 0.43  
0.3492 * a2 = 1.30 * 10 * 0.27 - T2 * 0.27  

5. Выразим a1 и a2 из уравнений и найдем натяжение нитей:  
a1 = (2.60 * 10 * 0.43 - T1 * 0.43) / 0.3492 = 3.19 м/с^2  
a2 = (1.30 * 10 * 0.27 - T2 * 0.27) / 0.3492 = 2.77 м/с^2  

6. Найдем натяжение нитей:  
T1 = 2.60 * 10 - 0.3492 * 3.19 = 25.88 Н  
T2 = 1.30 * 10 - 0.3492 * 2.77 = 8.43 Н  

Ответ:  
Ускорение каждого груза:  
a1 = 3.19 м/с^2  
a2 = 2.77 м/с^2  
Натяжение каждой нити:  
T1 = 25.88 Н  
T2 = 8.43 Н