Дано:
Диаметр иллюминатора D = 40 см = 0,4 м
Показатель преломления морской воды n = 1,4
Расстояние от иллюминатора до дна h = 5 м
Найти:
Площадь обзора дна из иллюминатора.
Решение:
Площадь обзора можно найти как площадь видимого круга на дне под углом через иллюминатор.
1. Найдем угол полного внутреннего отражения для границы стекла и морской воды. Угол полного внутреннего отражения определяется как:
sin(угол критического отражения) = 1 / n.
sin(угол критического отражения) = 1 / 1,4 = 0,7143.
угол критического отражения ≈ arcsin(0,7143) ≈ 45,6 градусов.
2. Теперь рассмотрим треугольник, образованный горизонтальной линией от центра дна к точке, противоположной углу критического отражения на границе стекло-вода, и лучами, падающим и отраженным через иллюминатор. Этот треугольник будет равнобедренным, так как угол полного внутреннего отражения равен углу между горизонтом и лучом взгляда.
3. Поскольку угол полного внутреннего отражения составляет 45,6 градусов, то верхний угол в треугольнике также будет 45,6 градусов.
4. Площадь круга, видимая через иллюминатор, будет площадью сегмента круга, ограниченного углом в 45,6 градусов.
5. Рассчитаем высоту сегмента круга, ограниченного углом в 45,6 градусов:
h1 = D/2 * (1 - cos(угол/2)) = 0,2 * (1 - cos(22,8)) ≈ 0,082 м.
6. Площадь сегмента круга вычисляется по формуле:
S = (r^2/2) * (θ - sin(θ)),
где r - радиус круга, θ - центральный угол в радианах.
7. Подставляем значения и рассчитываем площадь обзора дна из иллюминатора:
r = D/2 = 0,2 м,
θ = 45,6 градусов = π/4 радиан,
S = (0,2^2/2) * (π/4 - sin(π/4)) = 0,02 * (0,7854 - 0,7071) ≈ 0,015 м^2 ≈ 82 см^2.
Ответ:
Площадь обзора дна из иллюминатора составляет около 82 см^2.