Дано: формула для радиуса ядра r = r0 * 3√A, где r0 = 1.4 * 10^-13 см.
Найти: показать, что средняя плотность ядерного вещества одинакова для всех ядер и определить значение этой плотности.
Средняя плотность ядерного вещества может быть выражена как отношение массы ядра к его объему:
p = m / V,
где p - плотность, m - масса ядра, V - объем ядра.
Масса ядра может быть выражена через число нуклонов А и массовое число молекулы ядра mu:
m = A * mu,
где mu - масса протона (нейтрона).
Объем сферического ядра радиуса r:
V = 4/3 * π * r^3.
Подставим выражения для массы и объема в формулу для плотности:
p = A * mu / (4/3 * π * r^3).
Заменим радиус r на выражение из условия задачи и преобразуем выражение:
p = A * mu / (4/3 * π * (r0 * 3√A)^3).
p = A * mu / (4/3 * π * r0^3 * 3^3 * A).
p = A * mu / (4/3 * π * r0^3 * 27 * A).
p = mu / (4/3 * π * r0^3 * 27).
Так как mu - масса протона (нейтрона), а это константное значение, и объем ядра не зависит от массового числа А, видно, что плотность не зависит от массового числа ядра. Следовательно, средняя плотность ядерного вещества одинакова для всех ядер.
Определим значение средней плотности ядерного вещества:
p = 1.67 * 10^-27 кг / (4/3 * π * (1.4 * 10^-13)^3 * 27) ≈ 2.3 * 10^17 кг/м^3.
Ответ: Средняя плотность ядерного вещества одинакова для всех ядер и составляет около 2.3 * 10^17 кг/м^3.