Дано:
Формула DX = EX^2 - (EX)^2.
Найти:
Доказать данную формулу.
Решение с расчетом:
Дисперсия случайной величины X (обозначается как DX) представляет собой меру разброса значений вокруг математического ожидания.
Мы знаем, что дисперсия определяется как среднее значение квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Математически это выражается в виде: DX = E((X - EX)^2), где E() обозначает математическое ожидание.
Теперь раскроем скобки внутри E((X - EX)^2):
DX = E(X^2 - 2*X*EX + EX^2)
DX = E(X^2) - 2*E(X*EX) + E(EX^2)
Поскольку EX является константой, то E(X*EX) равняется EX * E(X), и мы можем записать это как EX * E(X). Таким образом, формула принимает следующий вид:
DX = E(X^2) - 2*EX^2 + E(EX^2)
Заметим, что E(X^2) соответствует математическому ожиданию квадрата случайной величины X, то есть (EX^2). Подставим это значение в формулу:
DX = E(X^2) - 2*EX^2 + EX^2
DX = E(X^2) - EX^2
Ответ:
Таким образом, мы доказали, что DX = EX^2 - (EX)^2.