Question

Трое царских сыновей выпустили по одной стреле из лука. Для Бориса-царевича вероятность попасть стрелой в пруд с Царевной-лягушкой равна 0,2, а в обычный пруд 0,6. Для Василия-царевича эти вероятности, соответственно, равны 0,4 и 0,3. Для Ивана-царевича эти вероятности равны 0,8 и 0,1. После испытания одна из стрел оказалась в пруду с Царевной-лягушкой. Какова вероятность, что это была стрела Ивана-царевича?

Answer 1

Для решения данной задачи воспользуемся формулой условной вероятности.

Обозначим:
- И - событие, что стрела оказалась в пруду с Царевной-лягушкой,
- Ив - событие, что стрела принадлежит Ивану-царевичу.

Из условия задачи нам известны следующие вероятности:
- P(Ив) = 1/3 (так как у троих царских сыновей вероятность стрелять равна),
- P(И|Ив) = 0.8 (вероятность попасть стрелой в пруд с Царевной-лягушкой для Ивана-царевича),
- P(И|не Ив) = 0.2*1/3 + 0.4*1/3 = 1/3 (вероятность попасть стрелой в пруд с Царевной-лягушкой для остальных царевичей).

Мы хотим найти вероятность того, что стрела принадлежит Ивану-царевичу при условии, что она оказалась в пруду с Царевной-лягушкой, то есть P(Ив|И).

Применим формулу Байеса:
P(Ив|И) = (P(И|Ив) * P(Ив)) / P(И)

Для нахождения P(И) по формуле полной вероятности суммируем вероятности попадания стрелы в пруд с Царевной-лягушкой для всех царевичей:
P(И) = P(И|Ив) * P(Ив) + P(И|не Ив) * P(не Ив) = 0.8 * 1/3 + 1/3 * 2/3 = 1/3

Теперь можем найти P(Ив|И):
P(Ив|И) = (0.8 * 1/3) / (1/3) = 0.8

Таким образом, вероятность того, что стрела принадлежит Ивану-царевичу при условии, что она оказалась в пруду с Царевной-лягушкой, равна 0.8 или 80%.