Дано:
a - боковая сторона равнобокой трапеции,
угол при основании 60°,
трапеция описана около окружности.
Найти: площадь трапеции.
Решение:
1. Пусть основание трапеции равно b1, верхнее основание равно b2, а боковая сторона - a. Так как трапеция описана около окружности, сумма длин противоположных сторон равна:
b1 + b2 = 2a.
2. Из условия, что угол при основании равен 60°, можно найти, что угол между боковой стороной и основаниями равен 60°. Это позволяет использовать геометрические соображения для нахождения высоты трапеции.
3. Высоту трапеции можно найти, используя тригонометрию. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой h и боковой стороной a. В этом треугольнике угол между боковой стороной и основанием равен 60°. Высота h равна:
h = a * sin(60°) = a * (√3 / 2).
4. Площадь трапеции можно выразить через высоту и основания по формуле:
S = (b1 + b2) * h / 2.
5. Подставим b1 + b2 = 2a и h = a * (√3 / 2):
S = (2a) * (a * √3 / 2) / 2 = a² * √3 / 2.
Ответ: площадь трапеции равна a² * √3 / 2.